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Métodos simples

para el análisis de

puntos degenerados de

sistemas analíticos planos

Introducción y capítulos 1, 2, 3		(288 KB)
Capítulo 4		(400 KB)
Capítulo 5		(392 KB)
Capítulos 6, 7, 8		(316 KB)
Resumen		(192 KB)

Tesis completa (1.8 MB)

Índice de la tesis

1. Introducción

2. Puntos críticos con un único autovalor cero

3. Análisis de puntos 'poco degenerados'
        3.1. Utilizando la expresión en polares
        3.2. Usando el blow–up: x=x , y=xv
        3.3. Polinomios de tercer grado
        3.4. La proximación homogénea para n=2
        3.5. Polinomios de cuarto grado
        3.6. La proximación homogénea para n=3
        3.7. Ideas sobre estabilidad

4. ¿Centros o focos?
        4.1. Sistemas homogéneos
        4.2. Cálculo de la integral I para n=3
        4.3. Centros y focos homogéneos para n=3
        4.4. Inestabilización de centros elementales
        4.5. Centros y focos no homogéneos y no elementales

5. Utilizando la poligonal
        5.1. Ejemplos introductorios
        5.2. Resultados generales
        5.3. Aplicando los teoremas
        5.4. Situaciones no recogidas en los teoremas

6. Análisis del infinito
        6.1. Cambios de variable
        6.2. El análisis homogéneo
        6.3. Acudiendo a la poligonal
        6.4. Ejemplos que exigen la poligonal

7. Referencias

8. Conclusiones

5

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18
21
27
29
34
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1. Introducción (capítulo 1 de la tesis).

El objetivo principal de este trabajo es presentar un método práctico y sistemático, basado en técnicas mucho más directas que otras ya conocidas, para analizar la estructura de las órbitas, cerca del origen y del infinito, del sistema autónomo analítico plano:

[S] x' = f(x,y); y' = g(x,y)

    Desde que hacia 1900 comenzaron Poincaré [1], Lyapunov [2], Bendixon [3], Dulac [4]… a tratar estos sistemas, mucho se ha escrito sobre ellos. El propio Poincaré clasificaba ya sus puntos críticos elementales (nodos, sillas, focos, centros) y Bendixon estudiaba aquellos con un autovalor cero (nodos, sillas, silla-nodos). Forster [5] trataba el caso en que los desarrollos de f y g comienzan por polinomios homogéneos del mismo grado sin raíces comunes. Aparecen más aportaciones en conocidos libros de los años sesenta como los de Nemytskii-Stepanov [6], Lefschetz [7] o Andronov-Leontovich-Gordon-Maier [8] (edición rusa del 66).

    Un resultado básico en el estudio de puntos críticos es el hecho de que, mediante cambios de variable ('blow-ups'), el análisis de un punto no elemental de un sistema analítico (que no sea centro o foco) se reduce al de otros en que, como mucho, uno de los autovalores de su aproximación lineal es cero. La prueba de esta afirmación (exigiendo a [S] algo menos que la analiticidad) se encuentra en el artículo de Dumortier de 1977 ("Singularities of vector fields on the plane" [9]). Este resultado, en teoría, cierra el problema. Pero la vía habitual de estudiar los puntos críticos degenerados utilizando exclusivamente los blow-ups exige realizar excesivos cálculos y no existe aún una teoría práctica sobre el tema.

    A lo largo de los años han seguido apareciendo trabajos que proponían métodos más rápidos que los anteriores para llevar a cabo el análisis de puntos críticos (éste es uno de ellos). Por ejemplo, en el libro "Local methods in nonlinear differential equations" [11] (1979, en ruso), Bruno defiende las ventajas de su algoritmo basado en la utilización de formas normales y en la poligonal de Newton (que nosotros también emplearemos de forma más directa). Sus ideas son citadas como las más prácticas por Arnold e Il'Yashenko en [10]. Aplicando las técnicas que expondremos al estudio de los ejemplos de Bruno de las páginas 143-151, se comprueba claramente que las suyas exigen muchos más cálculos (lo que puede dar lugar a errores, como de hecho sucede con el de la página 149).

    El mapa de fases cerca de un punto crítico elemental, que no sea centro o foco, queda fijado si hallamos las variedades que llegan al origen (es decir, si hallamos los vectores propios de la aproximación lineal) y fijamos el flujo sobre ellas (con el signo del autovalor asociado). Esta es la idea que presidirá los métodos aquí presentados: determinaremos (a partir de los términos homogéneos de menor orden o utilizando la poligonal) la forma de las órbitas que pasan por el origen (si las hay) y las orientaremos. Con poco trabajo más veremos si el sector comprendido entre dos de esas órbitas consecutivas es parabólico, elíptico o hiperbólico que son, como es sabido, las únicas posibilidades ([6], [7], [8]). Con ello quedará determinada, sin hacer cambios de variable y salvo en las excepciones que detallaremos, la estructura local del punto.

     Si no existen variedades que lleguen al origen, la cuestión (bastante más complicada y que todavía plantea problemas abiertos) será discutir si dicho punto es un centro o un foco (en los sistemas analíticos no se acumulan los ciclos límites ([4]) y no pueden existir los centro-focos). A esta discusión se dedican otros de los resultados originales que hemos obtenido.

    El capítulo 2 contiene un repaso de los puntos con un autovalor no nulo (su signo da el flujo sobre la variedad estable o inestable asociada) y otro cero (asociado a la 'variedad centro'). La estructura local queda determinada aquí también por el flujo sobre las variedades (para fijarlo sobre la centro hay que hallar términos de su desarrollo de Taylor). Presentamos los resultados sin suponer que la parte lineal esté en forma de Jordan para simplificar los cálculos habituales.

    El capítulo 3 muestra que considerar la 'aproximación homogénea' para un sistema que comienza por términos homogéneos de orden n≥2 es casi tan sencillo como considerarla para n=1 (la aproximación lineal). Bastará hallar unos 'vectores propios', obtener unos 'autovalores' a partir de ellos y determinar el signo de un polinomio. Como en el caso lineal, nuestros 'vectores propios' darán las rectas invariantes de la aproximación homogénea y los 'autovalores' fijarán el flujo sobre ellas. Aunque se han tratado ampliamente en la literatura los sistemas homogéneos y sus perturbaciones, aportamos aquí esta visión novedosa en lenguaje lineal, organizamos de forma práctica los cálculos e incluimos la posibilidad no recogida en trabajos anteriores de que existan 'autovalores cero simples' (asociados a variedades regulares tipo centro). Para probar los teoremas se hará explotar el origen en puntos sencillos con los clásicos blow-ups para el estudio de puntos degenerados: el cambio a polares o, mejor, el cambio x=x; y=xv . Pero, una vez demostrados, sólo en casos excepcionales serán necesarios los cambios para analizar el origen (el capítulo 5 los hará innecesarios incluso en algunos de estos casos).

    La secciones posteriores del capítulo estudian las aproximaciones homogéneas para n=2 y n=3 , utilizando las respectivas 'ecuaciones de autovalores' y simplificando el problema de precisar cuándo hay valores propios múltiples con autovalor cero, que es uno de los casos en que no bastan las técnicas mostradas para analizar el punto. Previamente se deducen formas, adecuadas a nuestros intereses, de calcular las raíces polinomios de tercer o cuarto grado, se caracteriza cuándo son simples o múltiples y cuántas son reales y cuántas complejas. Concluye el capítulo con unas breves ideas, basadas en estos resultados, sobre la estabilidad del origen.

    El capítulo 3 no aborda el caso de que todos los autovalores sean complejos. Entonces no hay variedades que lleguen al origen y el punto es centro o foco. A este problema se dedica el capítulo 4. La situación vuelve a ser similar al caso n=1 : si la aproximación homogénea posee un foco, el sistema completo también (con la misma estabilidad); si un centro, puede convertirse en un foco al añadir términos de mayor orden. Pero si n>1 e impar (si es par siempre hay órbitas pasando por el origen) la distinción entre centro y foco de la aproximación homogénea no es tan simple como el signo de la parte real de un autovalor: la da el signo de una integral I de un cociente de polinomios (si I =0 hay un centro). Hallar el signo de I analíticamente es ya difícil incluso si n=3 , y no existe casi ningún resultado general sobre el tema.

    Para atacar este problema escribiremos I en términos de las raíces de polinomios de tercer orden, la expresaremos en términos de los coeficientes del sistema en diversos casos y deduciremos una condición polinómica necesaria (aunque no suficiente) para su anulación. Esto nos permitirá analizar varios ejemplos de distinción entre centros y focos homogéneos, más generales que los que ilustran otros trabajos.

     Más complicado es ver en qué se convierte un centro. Primero repasamos el problema para   n=1 , simplificando los cálculos clásicos de los valores focales o constantes de Lyapunov. Se aborda después el problema (mucho más difícil y menos tratado) para n≥3 . Reduciendo las complicadas integrales que dan la estabilidad para n=3 conseguimos, en ocasiones, dar un signo definido al integrando y probar algebraicamente que el centro se ha convertido en foco.

    Analizamos en el capítulo 5 el caso de autovalor cero múltiple usando como herramienta fundamental la poligonal de Newton que, aunque se ha utilizado (de forma menos práctica que la aquí propuesta) por varios autores (Bruno, Berezowskaya, Brunella-Miari,…), es ignorada, desafortunadamente, en casi todas las referencias recientes. Veremos que para completar el análisis homogéneo bastará, una vez más, hallar y orientar las órbitas que pasan por el origen (y como mucho fijar el signo de algún polinomio más). Hallar esas órbitas (si entran con pendiente horizontal o vertical) se puede hacer de forma sencilla: determinando, a partir de la poligonal, las ramas de una curva algebraica. Probaremos que las ramas asociadas a los segmentos de la poligonal (y tal vez otras asociadas a los vértices) dan todas las variedades buscadas. El origen quedará determinado con el flujo sobre ellas y el signo de uno o más polinomios. Este resultado generaliza los del capítulo 3: allí la poligonal se reduce a un segmento de pendiente –1 y las ramas son las rectas invariantes ya citadas. Los términos del sistema que dan puntos sobre la poligonal son casi siempre los únicos necesarios para fijar la estructura del origen. Constituyen, aún más que la aproximación homogénea, la mejor generalización de la aproximación lineal elemental. Los teoremas son de demostración larga y exigirán la realización de sucesivos blow-ups, pero una vez probados serán, en general, innecesarios los cambios. Sólo quedarán por analizar, además de los centros y focos no abordables con el capítulo 4 (que sí sabremos tratar si la poligonal se reduce a un segmento), unas situaciones muy excepcionales. Se darán ideas de cómo atacarlas también sin cambios de variable. Se estudiarán a lo largo del capítulo varios sistemas concretos (algunos ya tratados con otras técnicas) para mostrar la bondad del método.

    El capítulo 6 prueba que para el análisis del infinito de un sistema polinomial se puede dar una teoría directa, dual y con el mismo grado de dificultad que la del origen (tampoco esta idea ha sido aprovechada lo suficiente en la literatura). Tras presentar (de un modo más directo que el habitual) los cambios de variable que llevan puntos críticos del infinito a otros finitos se van deduciendo resultados similares a los de los capítulos anteriores. De nuevo no habrá que hacer ningún cambio, salvo excepciones, para determinar la estructura del infinito: bastará hallar las variedades que lleguen al infinito, orientarlas y precisar el signo de algún polinomio. Para ello en muchos casos basta considerar los términos homogéneos de mayor orden. También será muy parecida la forma de distinguir entre centros y focos en el infinito. Cuando los términos de mayor orden no basten habrá que acudir a la poligonal (en este caso a la que rodea por arriba a los puntos del sistema, que no ha sido utilizada en este análisis). Los resultados del capítulo, unidos a los del origen, permiten analizar los sistemas polinomiales mucho más rápidamente que con las técnicas habituales basadas en blow-ups que, aún hoy en día, se utilizan. Esto se comprueba en los ejemplos del final del capítulo. Gracias a la poligonal es fácil construir sistemas con propiedades deseadas (por ejemplo, sistemas con ciclos límites o atractores inestables) o clasificar, con pocos cálculos, sistemas que dependen de parámetros. Trataremos también ejemplos que presentan una especie de 'bifurcación de Hopf no lineal'.

     Para favorecer la lectura casi no se han introducido las referencias dentro del texto, como es usual, sino en la introducción de cada capítulo (al final se resumen todas en el capítulo 7). En esas introducciones detallaremos dónde encontrar los resultados presentados sin prueba o que hemos demostrado de forma distinta y citaremos los resultados parciales mejorados por este trabajo. Un breve capítulo 8 final resume las principales aportaciones de esta memoria.

    Digamos algo más sobre la forma de presentar los resultados. Intentando hacer más legible el texto no hemos querido usar demasiado las palabras 'definición', 'teorema' o similares y por eso muchas conclusiones aparecerán entre los cálculos, según han sido deducidas. Aunque el objetivo del trabajo es elaborar métodos generales, para hacerlos más comprensibles hemos tratado una gran cantidad de ejemplos (que tienen en muchos casos interés en sí mismos).

    Para la edición, con el fin de controlar mejor la presentación, se ha escrito el texto con el Microsoft Word y sobre él se han pegado los dibujos hechos con el SuperPaint. Las órbitas aproximadas proceden de un viejo programa de 78K: el DEGraph (sus curvas arrugadas sobre ejes sin unidades pueden recordar que son sólo aproximaciones numéricas). Para algunos cálculos no realizables a mano se ha utilizado el Maple. Gran parte de ellos se han hecho con un lento Macintosh SE20 con 4 megas de memoria (es fácil, pues, reproducir muchas cuentas). Sólo en ocasiones se han tenido que utilizar ordenadores más potentes (para alguna integral numérica o para el manejo de alguno de los largos polinomios de los capítulos 3 ó 4).

Referencias de esta introducción

[1] H. Poincaré. Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle. Jour. Math. Pures et Appl. [1881-82-85-86].

[2] A. M. Lyapunov. Investigation of one of the singular cases of the theory of stability of motion. Mathematiceskiy Sbornik, 17 [1893].

[3] I. Bendixson. Sur les courbes définies par des équations différentielles. Acta Math., 24 [1901].

[4] H. Dulac. Sur les cycles limites. Bull. Soc. Math. France 51 [1923].

[5] H. Forster. Uber das Verhalten der Integralkurven einer gewönlichen Differentialgleichung erster Ordnung
   in der Umgebung eines singulären Punktes. Math. Seit., Dtsch, 43 [1938].

[6] V. V. Nemytskii - V. V. Stepanov. Qualitative theory of differential equations. Princeton University Press [1960].

[7] S. Lefschetz. Differential equations: Geometric theory. Interscience [1963].

[8] A. A. Andronov - E. A. Leontovich - I. I. Gordon - A. G. Maier. Qualitative theory of second-order dynamic systems. Wiley [1973].

[9] F. Dumortier. Singularities of vector fields on the plane. J. of Diff. Eq. 23 [1977], 53-106.

[10] V. I. Arnold - Yu. S. Il'yashenko. Ordinary differential equations. Encyclopaedia of Math. Sci., vol 1. Springer- Verlag [1989].

[11] A. D. Bruno. Local methods in nonlinear differential equations. Springer- Verlag [1989].

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Historia:

    Pocas tesis habrán tardado tanto en acabarse como la mía. Trabajando intensamente en mis clases y currando en solitario (nadie se dedicaba a este tema ni en el Departamento de Física Teórica II en el que estaba contratado ni el el de Matemática Aplicada en el que inicié mi vida investigadora) la comencé hacia 1982 y la presenté en 1998.

    Mi primer tema de investigación (para la tesina de 1978: "Una introducción a las ecuaciones diferenciales funcionales retardadas") fueron las ecuaciones de la forma x'(t) = f[t,x(t),x(t–r)] , es decir, aquellas para las que la variación del sistema depende no sólo de su estado actual sino también de su estado hace r unidades de tiempo. Tras dedicar un par de años al estudio de sus soluciones periódicas y a la relación entre la norma de la función dato inicial y la norma de las soluciones, abandoné estos temas hacia 1980.

     Durante unos cuantos años participé en una serie de Cursos de Doctorado del Departamento de Matemática Aplicada (Ecuaciones Funcionales se llamaba en aquellos años) que trataban las oscilaciones no lineales, la bifurcación y otros temas relativos a las EDOs. A esos cursos, además de las personas que los impartían y los estudiantes matriculados, asistíamos profesores de diferentes facultades (Casal, Somolinos, Fernández, Vegas, Fraile, Sabina, López, Montero...). El tema de mi tesis se originaría en uno de ellos, impatido por Chema Fraile en el 82-83: variedad centro y aplicaciones. Me dediqué a estudiar, utilizando las ideas del curso, los puntos críticos planos con un único autovalor cero y de ahí, de forma natural, pasé a tratar los puntos críticos degenerados en general (sin ser consciente entonces del amplio tema en que me metía). Fue Chema quien me sugirió la idea de relacionar algunos de mis cálculos con la poligonal de Newton, idea que se manifestaría muy productiva en todas mis cuentas posteriores.

    Aunque posteriormente la utilización de la poligonal para el análisis de puntos críticos apareció en publicaciones (pero de forma poco práctica), no había nada accesible sobre ello cuando presenté mis resultados preliminares sobre él en una comunicación al primer CEDYA (Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones; organizados por la SEMA) al que asistí:

    Métodos simples para el estudio de puntos singulares degenerados (VII CEDYA. Granada, 84).

    En Granada tomé contacto por primera vez con gente del Grup de Sistemes Dinàmics de la Autónoma de Barcelona (en especial con Armengol Gasull, y unos cuantos años después con Victor Mañosa) que también trabajaba en sistemas polinomiales planos. En CEDYAs posteriores contactaría también con otro grupo: el Seminari de Sistemes Dinàmics (Chavarriga, Giné, ...) de la Universidad de Lleida.

    Para tratar de forma sistemática los puntos con ambos autovalores cero (y tratar su estabilidad y sus posibles bifurcaciones) propuse después las ideas de ‘aproximación homogénea’ y de ‘autovalores’ que generalizaban las de la aproximación lineal. El tema me exigió el desarrollo de variados resultados prácticos sobre factorización de polinomios y localización de sus raíces.

    También comprobé que el estudio del infinito de los sistemas polinomiales se podía realizar de forma totalmente dual del estudio del origen y con el mismo grado de sencillez (o dificultad) a partir de la ‘aproximación homogénea del infinito’ y la ‘poligonal de Newton del infinito’ (idea no utilizada en la literatura sobre el tema).

    Estos nuevos resultados que iba desarrollando fueron presentados en la comunicación:

    Un método para el análisis del origen y el infinito en sistemas polinomiales planos (X CEDYA. Valencia, 87).

    Me centré más adelante en el amplio tema sobre el que siguen existiendo más problemas abiertos: centros y focos degenerados de sistemas analíticos. Obtuve variados resultados sobre la aproximación homogénea y sus perturbaciones (principalmente en el caso cúbico: condiciones necesarias de centro, bifurcaciones de Hopf no lineales, soluciones periódicas en el infinito,...) y utilizando la poligonal (precisión de cuando un punto es o centro o foco, distinción entre ambos si la poligonal se reduce a un único segmento,...). Presenté parte de este material en la comunicación:

    Centros y focos degenerados de sistemas analíticos planos (XV CEDYA. Vigo, 97).

    Cada dos años pedía prórroga para la presentación de la tesis. Jesús Esquinas (que me ayudó, como a tantas otras personas) me firmaba los papeles y redactaba los infomes necesarios. Por fín, todas las cuentas anteriores fueron recogidas y organizadas y me decidí a presentar la tesis en junio de 1998.

    Los últimos años los he dedicado (aunque la elaboración de materiales para mis clases ha seguido siendo prioritaria) a completar los temas que no considero suficientemente acabados: estudiar centros y focos con poligonal de más de un segmento, tratar de domar las largas ‘ecuaciones de autovalores’ para obtener resultados algebraicos sobre estabilidad que incluyan el caso centro-foco,...

    No he querido aún enviar a publicar ningún artículo sobre mis temas de investigación a ninguna revista puesto que no los he considerado suficientemente redondeados. Cuando crea que haya llegado ese momento, ya lo haré.

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